第26章 这是什么鬼节奏 (第2/5页)
，也让定积分的运算有了一个完善、令人满意的方法。下面就是该公式的证明全过程:对函数f(x)于区间[a,b]上的定积分表达为:
b∫af(x)dx
现在我们把积分区间的上限作为一个变量，这样我们就定义了一个新的函数:
Φ(x)=x∫af(x)dx
但是这里x出现了两种意义，一是表示积分上限，二是表示被积函数的自变量，但定积分中被积函数的自变量取一个定值是没意义的。为了只表示积分上限的变动，我们把被积函数的自变量改成别的字母如t，这样意义就非常清楚了:
Φ(x)=x∫af(t)dt
研究这个函数Φ(x)的性质:1、定义函数Φ(x)=x(上限)∫a(下限)f(t)dt，则Φ与格林公式和高斯公式的联系
&039;(x)=f(x)。
证明:让函数Φ(x)获得增量Δx，则对应的函数增量
ΔΦ=Φ(xΔx)-Φ(x)=xΔx(上限)∫a(下限)f(t)dt-x(上限)∫a(下限)f(t)dt
显然，xΔx(上限)∫a(下限)f(t)dt-x(上限)∫a(下限)f(t)dt=xΔx(上限)∫x(下限)f(t)dt
而ΔΦ=xΔx(上限)∫x(下限)f(t)dt=f(ξ)Δx(ξ在x与xΔx之间，可由定积分中的中值定理推得，当Δx趋向于0也就是ΔΦ趋向于0时，ξ趋向于x，f(ξ)趋向于f(x)，故有limΔx→0ΔΦ/Δx=f(x)
可见这也是导数的定义,所以最后得出Φ&039;(x)=f(x)。
2、b(上限)∫a(下限)f(x)dx=f(b)-f(a)，f(x)是f(x)的原函数。
证明:我们已证得Φ&039;(x)=f(x)，故Φ(x)c=f(x)
但Φ(a)=0(积分区间变为[
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