第26章 这是什么鬼节奏 (第4/5页)
的区域的一种特殊情况,我们仅对图一所表示的区域给予证明即可
另一方面,据对坐标的曲线积分性质与计算法有
因此
再假定穿过区域内部且平行于轴的直线与的的边界曲线的交点至多是两点,用类似的方法可证
综合有当区域的边界曲线与穿过内部且平行于坐标轴(轴或轴)的任何直线的交点至多是两点时,我,同时成立将两式合并之后即得格林公式
注:若区域不满足以上条件,即穿过区域内部且平行于坐标轴的直线与边界曲线的交点超过两点时,可在区域内引进一条或几条辅助曲线把它分划成几个部分区域,使得每个部分区域适合上述条件,仍可证明格林公式成立格林公式沟通了二重积分与对坐标的曲线积分之间的联系,因此其应用十分地广泛
相关介绍：对坐标的曲线积分与路径无关的定义
【定义一】设是一个开区域,函数,在内具有一阶连续偏导数,如果对于内任意两点,以及内从点到点的任意两条曲线,,等式恒成立,就称曲线积分在内与路径无关;否则,称与路径有关定义一还可换成下列等价的说法若曲线积分与路径无关,那么即:在区域内由所构成的闭合曲线上曲线积分为零反过来,如果在区域内沿任意闭曲线的曲线积分为零,也可方便地导出在内的曲线积分与路径无关
【定义二】曲线积分在内与路径无关是指,对于内任意一条闭曲线,恒有
折叠曲线积分与路径无关的条件
【定理】设开区域是一个单连通域,函数,在内具有一阶连续偏导数,则在内曲线积分与路径无关的充分必要条件是等式在内恒成立证明:先证充分性在内任取一条闭曲线,因单连通,故闭曲线所围成的区域全部在内从而在上恒成立由格林公式,有依定义二,在内曲线积分与路径无关再证必要性(采用反证法)假设在内等式不恒成立,那么内至少存在一点,使不妨设由于在内连续,在内存在一个以为圆心,半径充分小的圆域,使
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